【志鸿优化设计】2014年高中数学 2.1.2离散型随机变量的分布列课件 新人教A版选修2-3

发布时间:2021-11-28 09:16:54

2.1.2

离散型随机变量的分布列

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KETANG HEZUO TANJIU

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预*导引

学*目 标

1.能知道取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. 2.会求出简单的离散型随机变量的分布列并能记住分布列的性质. 3.能知道两点分布和超几何分布及其导出过程,并能简单地运用. 重点:1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念与性 质. 2.会求简单的离散型随机变量的分布列. 难点:两点分布和超几何分布.

重点难 点

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1.离散型随机变量的分布列 (1)一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,…,xi,…,xn,X 取每一个值 xi(i=1,2,…,n)的概率 P(X=xi)=pi,以表格的 形式表示如下:
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

这个表格称为离散型随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的分布 列. 用等式可表示为 P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,也可以用图象来表示 X 的分 布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质: ①pi≥0,i=1,2,3,…,n;②∑ pi=1 .
i=1 n

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预*交流 1
(1)连续投掷一枚均匀的骰子两次,用 X 表示所得的点数之和. ①试写出 X 的分布列;②求 X≤4 时的概率. 提示:①
X P 2 1 36 3 1 18 4 1 12 5 1 9 6 7 8 5 36 9 1 9 10 1 12 11 1 18
1 6

12 1 36

5 1 x 36 6

②P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)= (2)已知随机变量 ξ 的分布列为
ξ P 0 0 .4
x

1 1 1 + + 36 18 12

= .

1 x

2 0 .3

则 x= 提示:0.3

.

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2.两点分布 随机变量 X 的分布列为
X P
x 为成功概率. 称 p=P(X=1)

0 1-p

1 p

若随机变量 X 的分布列具有上表的形式,则称 X 服从两点分布,并

预*交流 2
如果随机变量 X 的分布列由下表给出,它服从两点分布吗?
X P 1 0 .4 2 0 .6

提示:不服从两点分布,因为 X 的取值不是 0 或 1. x

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3.超几何分布 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次 品,则 P(X=k)= 即
X P 0
0 -0 C C- C

k M

n-k N -M ,k=0,1,2,…,m, n N

1
-1 C1 C- C



m
- C C- C



其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*. 如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式,则称随机变量 X 服从超 几何分布.

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预*交流 3
设袋中有 80 个红球,20 个白球,若从袋中任取 10 个球,则其中恰有 6 个红球的概率为( A.
6 4 80 10

). B.
4 6 80 10

10 100

10 100

C.

6 4 80 20

10 100

D.

4 6 80 20

10 100

提示:D

x

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当堂检测

一、离散型随机变量的分布列
活动与探究 问题 1:在掷骰子试验中,用 X 表示骰子向上一面的点数,列出随机 变量 X 可能的取值以及 X 取这些值的概率. 提示:
X P 1 1 6 2 1 6 3
x 1 6

4 1 6

5 1 6

6 1 6

这就是随机变量 X 的分布列. 问题 2:对一般的离散型随机变量 X,怎样表示它的分布列? 提示:一般地,把离散型随机变量 X 的每一个取值 xi 及取每一个值 xi 的概率 P(x=xi)=pi 用表格的形式表示出来,就叫 X 的分布列;也可用等 式 P(x=xi)=pi,i=1,2,…,n 表示 X 的分布列.另外,也可用图象表示 X 的分 布列.
x

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当堂检测

例 1 某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据:
日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始 营业时有该商品 3 件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件, 则当天进货补充至 3 件,否则不进货.将频率视为概率. (1)求当天商店不进货的概率; (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列. 思路分析:(1)先分析不进货包括哪些情况,再运用互斥事件的概率 加法公式求出概率;(2)分析确定出 X x 的可能取值,再用概率加法公式求 出对应的概率.

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解:(1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为 0 件”)+P(“当天 商品销售量为 1 件”)=
1 5 + 20 20

=

3 . 10

(2)由题意知,X 的可能取值为 2,3. P(X=2)=P(“当天商品销售量为 1 件”)=
5 20

= ;

1 4

P(X=3)=P(“当天商品销售量为 0 件”)+P(“当天商品销售量为 2 件”)+P(“当天商品销售量为 3 件”)= 故 X 的分布列为
X P 2 1 4 3 3 4
1 9 5 + + 20 20 20

= .

3 4

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迁移与应用 1.将 3 个小球任意地放入 4 个大玻璃杯中,杯子中球的最多个数记 为 X,则 X 的分布列是 答案:
X P 1 2 3 1 16 3 9 x 8 16

.

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解析:依题意可知,杯子中球的最多个数 X 的所有可能取值为 1,2,3. 当 X=1 时,对应于 4 个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形; 当 X=2 时,对应于 4 个杯子中恰有一个杯子放两球的情形; 当 X=3 时,对应于 4 个杯子中恰有一个杯子放三个球的情形. P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=
3 4 3 8 43 2 1 3 ·4 ·1 3

= ;

1 4 43

43 1 = . 16

=

9 ; 16

可得 X 的分布列为
X P 1 3 8 2 9 16 3 1 16

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2.从装有 6 个白球,4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机地取出两个球, 规定每取出一个黑球赢 2 元,而每取出一个白球输 1 元,取出黄球无输 赢, (1)以 X 表示赢得的钱数,随机变量 X 可以取哪些值?求 X 的分布列; (2)求赢钱的概率,即 X>0 时的概率.

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解:(1)从箱中取两个球的情形有以下 6 种: {2 白},{1 白 1 黄},{1 白 1 黑},{2 黄},{1 黑 1 黄},{2 黑}. 当取到 2 白时,结果输 2 元,随机变量 X=-2; 当取到 1 白 1 黄时,输 1 元,随机变量 X=-1; 当取到 1 白 1 黑时,随机变量 X=1; 当取到 2 黄时,X=0;当取到 1 黑 1 黄时,X=2; 当取到 2 黑时,X=4.则 X 的可能取值为-2,-1,0,1,2,4. P(X=-2)= P(X=0)= P(X=2)=
2 12 2 6
1 5 1 6 2 ,P(X=-1)= 2 22 12

=

=

2 , 11

2 12 2 12

2 2

=

1 1 1 6 4 ,P(X=1)= 2 66 12

= =

4 , 11 1 . 11

1 1 4 2

=

4 2 ,P(X=4)= 24 33 12

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从而得到 X 的分布列为
X P -2 5 22 -1 2 11 0 1 66 1 4 11 2 4 33 4 1 11

(2)P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)= 故赢钱的概率为 .
19 33

4 4 1 + + 11 33 11

=

19 , 33

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(1)求离散型随机变量的分布列的步骤: ①找出随机变量 ξ 的所有可能的取值 xi(i=1,2,…); ②求出取每一个值的概率 P(ξ=xi)=pi; ③列出表格. (2)求离散型随机变量分布列时应注意以下几点: ①确定离散型随机变量 ξ 的分布列的关键是要搞清 ξ 取每一个值 对应的随机事件,进一步利用排列、 组合知识求出 ξ 取每一个值的概率. 对于随机变量 ξ 取值较多或无穷多时,应由简单情况先导出一般的通式, 从而简化过程. ②在求离散型随机变量 ξ 的分布列时,要充分利用分布列的性质, 这样不但可以减少运算量,还可验证分布列是否正确.

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二、离散型随机变量分布列的性质
活动与探究 问题:离散型随机变量的分布列有何作用? 提示:利用离散型随机变量分布列的性质,可以验证我们写出的分 布列是否有误;如果分布列中某个随机变量取值的概率未知,也可以根 据性质得到.
x

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例 2 设 ξ 是一个离散型随机变量,其分布列如下表.求常数 q.
ξ P -1 1 2 0 1-2q 1 q2

思路分析:求常数 q,利用各随机变量的概率和为 1,列出 q 的方程即 可求解,注意检验.
x
1 2 2 2

解:由离散型随机变量分布列的性质可得, +1-2q+q2=1,解得 q=1± , 又当 q=1+ 时,1-2q=-1- 2<0, x 2 故 q=1+ 舍去,即 q=1- .
2 2 2 2 2

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迁移与应用 1.设离散型随机变量 X 的概率分布列如下表:
X P 1 1 10 2 p 3 3 10 4 1 10

则 p 等于( A.
1 10

). B.
2 10

C.
x

2 5

D.

1 2

答案:D 解析:由

1 3 1 5 + + +p=1,解得 p= 10 10 10 x 10

= .

1 2

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2.设随机变量 X 的分布列 P(X=i)= i(i=1,2,3),则
2

k

P(X≥2)= 答案:
3 7

.
x

解析:由已知得随机变量 X 的分布列为
X P 1 2
x

2 4

3 8

∴ + + =1,∴ k= . ∴ P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3) = + = + = .
k 4 k 8 2 7 1 7 3 7

k 2

k 4

k 8

8 7

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利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某个范围内 取值的概率,此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪 几个值,再利用分布列即可得到它的概率,注意分布列中随机变量取不 同值时所表示的随机事件彼此互斥,因此利用概率的加法公式即可求 出其概率.

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三、两点分布
活动与探究 问题 1:利用随机变量研究一类问题,如抽取的奖券是否中奖,买回 的一件产品是否为正品,新生婴儿的性别,投篮是否命中等,这些有什么 共同点? 提示:这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果.定义一 个随机变量,使其中一个结果对应于 1,另一个结果对应于 0,即得到服从 x 两点分布的随机变量.

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问题 2:举例说明怎样利用两点分布来研究有多个结果的随机试验 中,某个随机事件是否发生? 提示:在掷骰子试验中,有 6 个可能结果,如果我们只关心出现的点 数是否小于 4,则可以通过随机变量 X= 0,如果出现的点数小于 4
x 1,如果出现的点数不小于 4

来研究,{X=0}和{X=1}分别表示

“出现的个数小于 4”和“出现的点数不小于 4”,X 服从两点分布,成功概 率为 0.5.

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例 3 一个袋中有形状、大小完全相同的 3 个白球和 4 个红 球. (1)从中任意摸出一球,用 0 表示摸出白球,用 1 表示摸出红球,即 X= 0,摸出白球, 1,摸出红球. 求 X 的分布列;

(2)从中任意摸出两个球,用“X=0”表示两个球全是白球,用“X=1”表 示两个球不全是白球,求 X 的分布列. 思路分析:两问中 X 只有两个可能取值,且为 0,1,属于两点分布,应 用概率知识求出 X=0 的概率,然后根据两点分布的特点求出 X=1 的概 x 率,最后列表即可.

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解:(1)由题意知 P(X=0)= ,P(X=1)= . 故 X 的分布列为
X P 0 3 7 1 4 7

3 7

4 7

(2)由题意知 P(X=0)= P(X=1)=1-P(X=0)= . 故 X 的分布列为
6 7

2 3 2 7

= ,

1 7

X P

0 1 7

1 6 7

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迁移与应用 1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,不中得 0 分.已知某运 动员罚球命中的概率为 0.7,则他罚球一次得分的分布列为 答案:
X P 1 x 0 0 .7 0 .3

.

解析:用随机变量 X 表示“每次罚球所得分值”,根据题意,X 可能的 取值为 0,1,且取这两个值的概率分别为 0.3,0.7,因此所求的分布列为
X P 1 x 0 .7 0 0 .3

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2.在购物抽奖活动的随机试验中,令 X=1 表示中奖;X=0 表示不中 奖.如果中奖的概率为 0.6,试写出随机变量 X 的分布列. 解:购物抽奖活动中,是否中奖只有两个结果,即中奖和不中奖,因为 中奖的概率为 0.6,所以根据分布列的性质,得不中奖的概率为 0.4,其分 布列为
X P 1x 0 .6 0 0 .4

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两点分布的几个特点: (1)两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的. (2)两点分布又称为 0-1 分布,应用十分广泛,如彩票抽取问题,婴儿 性别问题,投篮是否命中问题等. (3)由对立事件的概率求法可知,已知 P(X=0)(或 P(X=1)),便可求出 P(X=1)(或 P(X=0)).

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四、超几何分布
活动与探究 问题 1:从一副不含大小王的 52 张扑克牌中任意抽出 5 张,求有 3 张 A 的概率,你会做吗? 提示:可以使用古典概型来解,所求概率=
x
2 3 4 48

5 52

,如果以 X 表示抽出 A

的张数,则 X 服从超几何分布. 问题 2:超几何分布适合解决什么样的概率问题? 提示:一个总体(共有 N 个)内含有两种不同的事物 A(M 个),B(N-M 个),任取 n 个,其中恰有 X 个 A 符合即可断定是超几何分布.按照超几何 分布的分布列 P(X=k)=
k M

x n-k N -M ,k=0,1,2,…,m,m=min{M,n},进行处理即可. n N

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例 4 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况, 随机抽取该流水线上 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:g),重量 的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分 布直方图,如图所示.

(1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 g 的产品数量; (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 g 的 产品数量,求 Y 的分布列.

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思路分析:(1)根据频率分布直方图可得重量超过 505 g 包含 (505,510],(510,515]两个区间,由对应小矩形的高及组距求出频率,频率 与样本容量的乘积即为所求;(2)分析可知 Y 服从超几何分布,分布列易 求. 解:(1)根据频率分布直方图可知,重量超过 505 g 的产品数量为 40× (0.05× 5+0.01× 5)=40× 0.3=12. (2)Y 的可能取值为 0,1,2,且 Y 服从参数为 N=40,M=12,n=2 的超几 何分布,故 P(Y=0)=
11 . 130
2 0 12 28

2 40

=

1 63 1 12 28 ,P(Y=1)= 2 130 40

=

x

0 28 2 12 28 ,P(Y=2)= 2 65 40

=

所以 Y 的分布列为
Y P 0 63 130 1 28 65 2 11 130

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迁移与应用 1.箱中装有 50 个零件,其中有 40 个是合格品,10 个是次品,从箱子 中任意拿出 10 个,其中的次品数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列. 解:ξ 可能取的值为 0,1,2,…,10.由题意知 P(ξ=m)=
m 10 40 10 50
10-m

(m=0,1,2,…,10).
x … k

故 ξ 的分布列为
ξ P 0
0 10 C10 C40 C10 50

1
1 9 C10 C40 C10 50



10
10 0 C10 C40 C10 50



10 - C10 C40 C10 50



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2.在 8 个大小相同的球中,有 2 个黑球,6 个白球,现从中任取 3 个, 求取出的球中白球个数 X 的分布列. 解:X 的可能取值为 1,2,3,X=1 表示取出的 3 个球中有 1 个白球 2 个黑球,此时的概率 P(X=1)=
2 1 6 2

3 8

=

3 ;X=2 28
1 2 6 2

表示取出的 3 个球中有 2 个
15 ;X=3 表示取出的 3 个球中 28
0 3 6 2

白球 1 个黑球,此时的概率 P(X=2)=

3 8

=

x

有 3 个白球 0 个黑球,此时的概率 P(X=3)=
X P 1 3 28 2 15 28 3

3 8

=

5 ,其分布列为 14

5 14

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1

2

3

4

5

1.随机变量 X 的分布列如下,则 m 等于(
X P
1 3 1 2

).
4 1 6

1 1 4

2 m
1 6

3 1 3

A.

B.

C.
x

D.

1 4

答案:D
1 4 1 3 1 6

解析:由分布列性质得 +m+ + =1,故 m= .
x

1 4

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1

2

3

4

5

2.某射手射击所得环数 X 的分布列如下:
X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22

则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为( A.0.28 答案:C B.0.88 C.0.79
x

). D.0.51

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1

2

3

4

5

3.为了加强学生实践、创新能力和团队精神的培养,教育部门举办了全 国学生智能汽车竞赛.某校的智能汽车爱好小组共有 15 人,其中女生 7 人.现从中任意选 10 人参加竞赛,用 X 表示这 10 人中女生的人数,则下 列概率中等于 A.P(X=2) 答案:C
6 4 7 8

10 15

的是(

). C.P(X=4)
x

B.P(X≤2)

D.P(X≤4)

4 6 解析:∵ 15 人中,有 7 名女生,8 名男生,7 8 表示选出的 10 人中有 4 名女
6 4 7 8

生,6 名男生,∴ P(X=4)=

10 15

.

x

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1

2

3

4

5

4.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=ak(k=1,2,3,4),则常数 a= 答案:
1 10

.

x

解析:由已知可得 a+2a+3a+4a=1, 故 a= .
1 10

x

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1

2

3

4

5

5.已知随机变量 ξ 的分布列如下:
ξ P 1 0 .1 2 0 .2
x

3 0 .4

4 0 .2

5 0 .1

则 P(2≤ξ<4)= 答案:0.6

.

解析:P(2≤ξ<4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.4=0.6. x


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