【志鸿优化设计】2014年高中数学 第一章 章末整合提升课件 新人教A版选修2-3

发布时间:2021-11-28 10:29:22

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计数原理

分类加法计数原理 分步乘法计数原理

排列:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m ≤ n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个排列 排列 排列数公式:m = n(n-1)(n-2)…(n-m + 1) = n! n 全排列:n n = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1
m 排列数的性质:m n = nn -1 = mn -1 + n -1 m -1 m -1

排列数:所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号m n 表示
(n-m)!

组合:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m ≤ n)个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
m 组合数:所有不同组合的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用符号n 表示

组合

m 组合数公式:n =

m n(n-1)(n-2)…(n-m+1) n! n = = m ! m m !( n-m)! m
n -m m -1

m m m 组合数的性质:①n = n ;②n+1 = n + n

0 n 1 n -1 2 n -2 2 k n -k k n n 二项式定理:( + )n = n a + n a b + n a b + … + n a b + … + n b (n∈N* ) k n -k k 二项式的通项:通项公式Tk+1 = n a b

二项式系数:C 二项式定理 二项式系数的性质
m 对称性:n = n n -m

增减性与最大值 二项展开式中各二项式系数的和等于2n 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,都等于2n -1

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专题一、两个计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是计数问题的基本原理, 它贯穿于全章学*的始终,体现了解决问题时将其分解的两种常用方 法:把问题分类解决和分步解决,是本章学*的重点. 从*几年的高考命题可看出,对两个计数原理的考查一般只在选 择题、填空题中出现,且与排列、组合等知识综合命题,难度中等偏下, 解答此类问题要注意分类讨论思想和补集思想的应用.

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例 1 从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重 复数字的三位数,其中奇数的个数为( ). A.24 B.18 C.12 D.6
x 答案:B 解析:先分成两类:(一)从 0,2 中选数字 2,从 1,3,5 中任选两个所组成
2 的无重复数字的三位数中奇数的个数为C3 ×4=12;

(二)从 0,2 中选数字 0,从 1,3,5 中任选两个所组成的无重复数字的
2 三位数中奇数的个数为C3 ×2=6.

x

故满足条件的奇数的总个数为 12+6=18.

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例 2 如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂 色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则 不同的涂色方法共有( A.288 种 B.264 种 C.240 种 D.168 种 答案:B
x

).

解析:首先给 A,D,E 三个点涂色有3 4 =4×3×2=24(种), A,D,E 颜色固定,当 B 与 D,E 涂色不同时,有 3 种涂法,
x A,D,E 颜色固定,当 B 与 D,E 其中一个涂色相同时 ,有 8 种涂法,

共有 24×(3+8)=264(种).

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例 3 甲组有 5 名男同学、3 名女同学, 乙组有 6 名男同学、 2 名女同学.若从甲、乙两组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( A.150 种 C.300 种 答案:D B.180 种 D.345 种
x

).

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解析:1 名女同学可能是甲组的,也可能是乙组的,所以这名女同学 的选法有两种情况,需分类解决.第一类,这名女同学是甲组的,有 3 种选 法,再在甲组选出 1 名男同学,有 5 种选法,然后在乙组选出 2 名男同学, 有 15 种选法,由分步乘法计数原理得选出的 4 人中恰有 1 名女同学的 选法共有 3×5×15=225(种).第二类,这名女同学是乙组的,有 2 种选法, 再在乙组选出 1 名男同学,有 6 种选法,然后在甲组选出 2 名男同学,有 10 种选法,由分步乘法计数原理得选出的 4 人中恰有 1 名女同学的选法 共有 2×6×10=120(种).根据分类加法计数原理可得满足条件的选法共 有 225+120=345(种).故选 D.

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专题二、排列、组合的综合应用
1.排列与组合是两类特殊的计数问题,它还有一些较为独特的思考 方法,应理解掌握.关于排列、组合问题,除以上所提到的方法外,有时还 经常用到以下两种方法: (1)间接法,把不合条件的排列数或组合数剔除掉. (2)穷举法,把符合条件的所有排列或组合一一写出来. 排列与组合具有“承上启下”的作用:它是计数原理的深化、提升, 又是概率统计的基础. 2.该内容还是每年高考必考内容.通常以选择题、填空题的形式考 查,或在解答题中与概率、概率分布、统计相结合进行考查,难度多为中 等. 以实际问题为背景,以考查排列数、 组合数为主,同时考查分类讨论、 化归与转化等数学思想方法及解决问题的能力.

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3.排列、组合的区分 界定排列与组合问题的唯一的标准是“顺序”,“有序”是排列问 题,“无序”是组合问题.排列与组合问题并存的时候,解答排列与组合问 题,一般采用先组合后排列的方法解答. 4.“元素与位置”关系 解答排列与组合问题,界定哪些事物是元素,哪些事物是位置至关 重要,又没有唯一的固定标准,所以要辩证地去看待元素与位置.解题过 程中,要优先安排有限制条件的特殊元素和特殊位置,并灵活运用“捆绑 法”和“插空法”,“直接法”和“间接法”.

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5.解排列、组合应用题的一般步骤 解排列、组合应用题对思维能力要求较高,下面的步骤有助于帮助 我们提高抽象思维能力. (1)分析题意. 明确应把问题中的哪些具体对象看做元素(如人、 物、 数、 图形等). 分析是排列问题还是组合问题,还是排列、 组合综合题(如是综合题 一般需要先组合后排列,简称“先选后排”). 分析完成这件事有几类办法,找到分类标准,做到不重不漏;执行各 类办法时又分别需要进行几步才能完成事件.

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(2)选定解法. 通常不含限制条件的排列、组合问题都可以直接求解;含有限制条 件的排列、组合问题有直接法或间接法两种解法(其中分类法和排除法 最为常用).但无论用直接法还是间接法,都要注意从不同角度,正、反两 方面考虑同一问题,复*中要注意一题多解的训练. (3)列式求解. 解答问题时要用恰当而准确的语言进行表述,以展示其问题求解 的思维过程和所列算式的理论依据,以及必要的运算程序和最简结果.

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6.常见的解题策略 常见的解题策略有以下几种:(1)特殊元素优先安排的策略; (2)合理分类和准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略; (7)定序问题除法处理的策略; (8)分排问题直排处理的策略; (9)相同元素插入隔板处理的策略; (10)构造模型的策略.

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例 44 个不同小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一 个空盒的放法有 种.(用数字作答) 答案:144
x

解析:因有一个空盒,故必有一个盒子放两球. 2 3 (1)选:从 4 个球中选 2 个球有C4 种,从 4 个盒中选 3 个盒有C4 种;(2) 排:把选出的 2 个球看做一个元素与其余 2 球共 3 个元素,对选出的 3 盒 x
2 3 3 做全排列有A3 3 种,故所求放法有C4 C4 A 3 =144(种).

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例 5 从集合{x|-3≤x≤4,x∈Z}的元素中,任取三个不同数字 作为二次函数 y=ax2+bx+c 的三个字母 a,b,c,共能组成过原点且顶点在 第一象限或第三象限的抛物线的条数是( A. A2 7
1 1 B.C3 A4 + A2 3 1 1 C.C3 C4 + A2 4 1 2 D.A1 4 A5 + A4

).

1 2

答案:C

x

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解析:依题意 a≠0,c=0,且顶点
2 2 4

- ,2 4

2

在第一象限或第三象限.

(1)若在第一象限,则

> 0, 即 > 0, < 0, 即 < 0,

< 0, ① > 0. > 0, ② > 0.

(2)若在第三象限,则

2 2 4

-

1 1 集合中有 3 个负数 4 个正数,满足①的有C3 C4 种;满足②的有A2 4 种, 1 1 故共有符合题意的抛物线的条数为C3 C4 + A2 4.

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例 6 有五张卡片,它们的正、反面分别写有 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成 多少个不同的三位数? 答案:432
x

解析:解法一:(间接法)任取三张卡片可以组成不同三位数
2 3 2 C5 ·23·A3 个 , 其中 0 在百位的有 C · 2 ·A2 4 3 2 个,这是不合题意的,故共 2 3 2 2 有不同三位数:C5 ·23·A3 ? C · 2 · A 4 3 2 =432(个).

解法二:(直接法)(用位置分析法 x )第一类:0 与 1 卡片放首位,可以组
2 成不同三位数有C4 ·22·A2 2 =48(个);第二类:0 与 1 卡片不放首位,可以 1 2 组成不同三位数有(C4 ·2)(C4 ·22·A2 2 )=8×48=384(个).

故共有不同三位数 48+384=432(个).

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专题三、二项式定理的应用
1.二项式定理是组合思想方法的具体应用,要体会理解这一定理的 组合方法的证明,掌握二项展开式的通项公式及二项式系数的性质. 2.从*几年的高考试题可知,对本专题的考查主要是:二项展开式 的通项、二项式系数、展开式系数等知识,题型多以选择题、填空题的 形式出现,难度为低、中档.

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3.二项式定理问题的处理方法和技巧: n-r r (1)运用二项式定理一定要牢记通项公式 Tr+1=C a b (其中 0≤r≤n,r∈N,n∈N*),注意(a+b)n 与(b+a)n 虽然相同,但具体到它们展开 式的某一项时是不相同的,我们一定要注意顺序问题,另外二项展开式
的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念,前者只指C ,而后

者是除字母外的部分. (2)求展开式所有项(或部分项)的系数和,可采用“赋值法”. (3)关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”:构造二项式或构造同 一问题的两种算法.

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(4)证明不等式时,应注意结合分析法或放缩法. (5)有些三项展开式问题可采用“化归”变形为二项式问题;有时也 可以通过组合解决,但要分类清楚,不重不漏. (6)*似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项. (7)用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二 项式的形式再展开,结合整除的有关知识来解决.

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例 7 已知 为 答案:4 .

2

9

展开式中 x3 的系数为 ,则常数 a 的值

9 4

x
3

解析:Tr+1=C9 (-1)r·2-2 ·a9-r· 2 -9 .

令 -9=3? r=8.
x
8 8

3 2

令(-1) C 9 2

-

8 9 2 a= ,解得

4

a=4.

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例 8 如果今天是星期一,那么 1090 天后的第一天是星期几? 解:由于 1090=10045=(7×14+2)45,又 245=(23)15=(7+1)15,可见 1090 被 7 除的余数是 1,所以 10 天后的第一天是星期二. 例 9 若(3x2-2x+1)5=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0(x∈C),求 (a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2 的值. 解:令 x=1,得 a0+a1+…+a10=25; 令 x=-1,得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)-(a1+a3+a5+a7+a9)=65. 两式相乘,得
2 90

x

(a0+a2+a4+a6+a8+a10) -(a1+a3+a5+a7+a9)2=25×65=125.

x


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