【志鸿优化设计】2014年高中数学 3.1回归分析的基本思想及其初步应用同步检测 新人教A版选修2-3

发布时间:2021-11-28 10:45:31

回归分析的基本思想及其初步应用
一、选择题 1.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做了 100 次和 150 次试 验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为 l1 和 l2.已知两个人在试验中发现对变量 x 的观测 数据的*均值都是 s,对变量 y 的观测数据的*均值都是 t,那么下列说法正确的是( A.l1 和 l2 有交点(s,t) B.l1 与 l2 相交,但交点不一定是(s,t) C.l1 与 l2 必定*行 D.l1 与 l2 必定重合 答案:A 解析:都过样本中心点(s,t),但斜率不确定. 2.下列四个命题中正确的是( ). ).

①在线性回归模型中,e 是 bx+a 预报真实值 y 的随机误差,它是一个观测的量;②残差*方和越小的 模型,拟合的效果越好;③用 R 来刻画回归方程,R 越小,拟合的效果越好;④在残差图中,残差点比 较均匀地落在水*的带状区域中,说明选用的模型比较合适,若带状区域宽度越窄,说明拟合精度越 高,回归方程的预报精度越高.
2 2

A.①③ C.①④ 答案:B

B.②④ D.②③

解析:e 是预报变量 y 的随机误差,故①不正确;R 越接* 1,拟合的效果越好,故③不正确;故选 B. 3.(2014 湖北高考)根据如下样本数据:

2

x 3 y
4. 0

4 2. 5

5

6 0. 5

7

8

0.5

2.0

3.0

得到的回归方程为=bx+a,则( A.a>0,b>0 C.a<0,b>0 答案:B B.a>0,b<0 D.a<0,b<0

).

解析:由样本数据可知 y 值总体上是随 x 值的增大而减少的.故 b<0,又回归直线过第一象限,故纵截 距 a>0.故选 B. 4.某学校开展研究性学*活动,某同学获得一组实验数据如下表:

1

x

1.9 9

3 4.0 4

4 7. 5

5. 1 12

6.12 18.0 1

y 1.5

对于表中数据,现给出下列拟合曲线,其中拟合程度最好的是( A.y=2x-2 C.y=log2x 答案:D 解析:可以代入检验,残差*方和最小的拟合程度最高. B.y= D.y=(x -1)
2

).

5.若某地财政收入 x 与支出 y 满足线性回归方程 y=bx+a+e(单位:亿元),其中 b=0.8,a=2,|e|≤0.5. 如果今年该地区财政收入 10 亿元,年支出预计不会超过( A.10 亿 C.10.5 亿 答案:C 解析:代入数据 y=10+e,因为|e|≤0.5,所以|y|≤10.5,故不会超过 10.5 亿. 6.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万 元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54 B.9 亿 D.9.5 亿 ).

根据上表可得回归方程 x+中的为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为( A.63.6 万元 C.67.7 万元 答案:B 解析:∵-9.4×=9.1, ∴回归方程为=9.4x+9.1. 令 x=6,得=9.4×6+9.1=65.5(万元). 二、填空题 7.在研究身高和体重的关系时,求得 R ≈
2

).

B.65.5 万元 D.72.0 万元

,可以叙述为“身高解释了 64%的体重变化,而随机

误差贡献了剩余的 36%”,所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多. 答案:0.64 解析:结合相关指数的计算公式 R =1-可知,当 R ≈0.64 时,身高解释了 64%的体重变化.
2 2

2

8.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号 每天打篮球时间 x(单位:h)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 1 0. 4 2 0. 5 3 0. 6 4 0. 6 5 0. 4

y

小李这 5 天的*均投篮命中率为 篮球的投篮命中率为 答案:0.5 0.53 解析:这 5 天的*均投篮命中率为

,用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 6 小时

.

=0.5.
因为=3, (xi-)(yi-)=(1-3)×(0.4-0.5)+(2-3)×(0.5-0.5)+(3-3)×(0.6-0.5)+(4-3)×(0.6-0.5)+(53)×(0.4-0.5)=0.1, (xi-) =(1-3) +(2-3) +(3-3) +(4-3) +(5-3) =10, 所以=0.01,=0.5-0.03=0.47. 所以回归直线方程为=0.01x+0.47. 当 x=6 时,=0.01×6+0.47=0.53. 9.已知 y 与 x 之间具有很强的线性相关关系,现观测得到(x,y)的四组观测值并制作了下边的对照 表,由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为 x+60,其中的值没有写上.当 x 不小于-5 时,预测 y 最大为
2 2 2 2 2 2

. x 18 13 10 -1 y 24 34 38 64

答案:70 解析:由已知,得=10,=40, 所以 40=10+60,=-2,从而=-2x+60.因为当 x≥-5 时,≤70,故预测 y 最大为 70. 三、解答题 10.恩格尔系数=×100%. 在我国,据恩格尔系数判定生活发展阶段的标准为: 贫困:>60%,温饱:50%~60%, 小康:40%~50%,富裕:<40%.

3

据国家统计局统计显示,随着中国经济的不断发展,城镇居民家庭恩格尔系数不断下降,居民消 费已从温饱型向享受型、发展型转变.如下表: 恩格尔 系数 57.5 54.2 53.8 50.0 48.8 44.7 39.4 37.7 37.1

y(%)
年份 x 1978 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2003

求:(1)根据年份预报恩格尔系数的线性回归方程; (2)预报 2013 年的恩格尔系数; (3)求 R ; (4)作出残差图. 解:由于问题中要求根据年份预报恩格尔系数,因此选取年份为自变量 x,恩格尔系数为因变量 y,作 散点图:
2

(1)由最小二乘法得线性回归方程为

=-0.901 8x+1 845.9.
(2)由回归方程可知,2013 年恩格尔系数为

=-0.901 8×2 013+1 845.9≈30.6.
(3)R =1-≈1-≈0.82. (4) 编号 年份 恩格尔系 数(%) 残差 1 1978 57.5 2 1990 54.2 3 1992 53.8 4.3 4 1994 50.0 2.3 5 1996 48.8 2.9 6 1998 44.7 0.6 7 2000 39.4 8 2002 37.7 9 2003 37.1
2

-4.6 2.9

-2.9 -2.8 -2.5

残差图如下:

4

11.关于 x 与 y 有以下数据:

x 2

4

5

6

8

y 30 40 60 50 70

已知 x 与 y 线性相关,由最小二乘法得=6.5, (1)求 y 关于 x 的线性回归方程; (2)现有第二个线性模型:=7x+17,且 R =0.82. 若与(1)的线性模型比较,哪一个线性模型拟合效果比较好,请说明理由. 解:(1)依题意设 y 关于 x 的线性回归方程为=6.5x+.
2

=5, =50.
∵=6.5x+经过(), ∴50=6.5×5+. ∴=17.5. ∴y 关于 x 的线性回归方程为=6.5x+17.5. (2)由(1)的线性模型得 yi-与 yi-的关系如下表:

yiyi-

0.5

3.5

10 10

6.5 0

0. 5 20

-20

-10

所以(yi-) =(-0.5) +(-3.5) +(-10) +(-6.5) +0.5 =155. (yi-) =(-20) +(-10) +10 +0 +20 =1 000. 所以=1-=1-=0.845. 由于=0.845,R =0.82 知>R , 所以(1)的线性模型拟合效果比较好. 12.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄 录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

5

1月 日期 10 日 昼夜温 差 10

2月 10 日

3月 10 日

4月 10 日

5月 10 日

6月 10 日

11

13

12

8

6

x(℃)
就诊人 数 22 25 29 26 16 12

y(个)

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程,再 用被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; (2)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 x+; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线 性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想? 解:(1)设“抽到相邻两个月的数据”为事件 A,因为从 6 组数据中选取 2 组数据共有=15 种情况,每 种情况都是等可能出现的,其中,抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种, 所以 P(A)=. (2)由数据求得=11,=24, 由公式,求得=-, 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 x-. (3)当 x=10 时,y=<2, 同样,当 x=6 时,y=<2, 所以,该小组所得线性回归方程是理想的.

6


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